探析几个质数的整除规律

南京市第三十四中学（210016）     周江

偶读李建超先生的“11能否被整除的规律”（见《中学数学杂志初中》2006年第四期上），作为一名数学爱好者，能对数学研究有这么大的兴趣，这么强的研究精神，深受感动和鼓舞，也把自己深埋心中的一些整除规律等相关问题激发出来。本文给出几个质数整除的规律、证明，不足之处请指正。

1．能被11、7、13整除的特征

1．1  被11整除的数的特征

正如李先生所述，能被11整除的数的特征是：分别计算一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和，如果它们的差（注：这里的差指大减小）能被11整除，那么这个数就能被11整除。

证明： ＝a_n×10ⁿ＋a_n-1×10^n-1＋…＋a₂×10²＋a₁×10＋ a₀＝（a₀＋a_２×10²＋…）＋（a_１×10＋a_３×10^３＋…）＝［（a₀＋a_２＋…）＋a_２×（10²－１）＋a_４×（10⁴-1）+…］＋［a_１×（10＋１）＋a_３×（10^３＋1）＋…－（a_１＋a_３＋…）］

而10^2k－１与10^2k-1＋１均能被11整除，k为正整数，

≡（a₀＋a_２＋…）－（a_１＋a_３＋…）（mod 11）

例1、检验数589456332487能否被11整除，由于（5+9+5+3+2+8）－（8+4+6+3+4+7）=0，所以589456332487能被11整除。

再如9546873中，（9+4+8+3）-（5+6+7）=6不能被11整除，所以9546873也不能被11整除。

1．2  被7整除的数的特征

三位以内的数能被7整除的特征是：百位数字×2＋十位数字×3＋个位数字的和如果能被7整除，那么这个数就能被7整除。

证明： ＝a₂×10²＋a₁×10＋ a₀＝a₂×（98+2）＋a₁×（7+3）＋ a₀≡a₂×2＋a₁×3＋ a₀  (mod 7)

3位以上的数可以用以下方法。

另一种计算一个多位数能否被7整除的方法是“去一减二法”，意思就是该数去掉末位一个数字，用剩下的数减去去掉的那个数字的2倍。（可通过网络查询这种方法）

证明：一个能被７整除的多位数可设为ａ×10＋ｂ，

则ａ×10＋ｂ＝（ａ＋ｂ）×７＋３×（ａ－２ｂ）≡３×（ａ－２ｂ）（mod 7），

所以如果ａ×10＋ｂ能被７整除，那么（ａ－２ｂ）也能被７整除。

一个很有趣的现象，就是如果一个多位数不能被7整除，那么如果还要按“去一减二法”操作，所得结果除以7后的余数都是按照一定的顺序进行循环，这个循环的的顺序是从1，5，4，6，2，3，中的某一个开始，依次向后循环。

例2、检验数1841945能否被7整除，按“去一减二法”，依次得到1841945→184184→18410→1841→182→14，故1841945能被7整除。

1．3  能被7、11或13整除的特征

检验位数较多（数字较长）的数能否被7、11、或13整除，可以先将整数从右向左每三个数为一节，一节一节地分开，再从右边数起按下面办法计算。

[ 第一节 ] – [ 第二节 ] + [ 第三节 ] - [ 第四节 ] +…，

计算所得的数如果是7，11或13的倍数，则原数就能被7，11或13数整除；如果算得的数不是7，11或13的倍数，则原数就不能被7，11或13整除。

证明：按上述方法将一个多位数 分成A₀+A₁×1000+ A₂×1000²+…，其中A_i表示位数不超过3位的第i+1节，

［（A₀＋A_２＋…）＋A_２×（1000²－１）＋A_４×（1000⁴-1）+…］＋［A_１×（1000＋１）＋A_３×（1000^３＋1）＋…－（A_１＋A_３＋…）］

而1000^2k－１与1000^2k-1＋１均能被1001整除，k为正整数，那么

≡（A₀＋A_２＋…）－（A_１＋A_３＋…）（mod 1001），

1001=7×11×13，

所以如果（A₀＋A_２＋…）－（A_１＋A_３＋…）能否被7、11、或13整除，那么 也能被7、11、或13整除。

例3、检验95178365425能否被7、11、或13整除的整除情况，我们只要检验（425+178）-（365+95）=143，143能被11和13整除，所以95178365425也能被11和13整除。

2．回顾能被3、5、9等几个整除的特征

某个多位数的各位数字之和能被3或9整除，那么这个多位数就能被3或9整除；个位是0或5的整数能被5整除。

例4、检验873能被9整除，是因为8+7+3=18能被9整除。

3．究其根源

首先，分析873能被9整除的原因，我们知道10ⁿ除以9后都余1，873=8×100+7×10+3，100、10除以9后也余1，那么873=8×100+7×10+3≡8+7+3≡0（mod 9）；

第二，10正好能被5整除，所以检验一个数能否被5整除就看其个位数字是否能被5整除；

第三，由于11=10+1，所以一个数能否被11整除，可以检验奇位数字之和与偶位数字之和的差，看能否被11整除；

同样7×11×13=1000+1，检验位数较多（数字较长）的数能否被7、11、或13整除，可以先将整数从右到左每三个数一节地分开，再从右边数起按下面办法计算，检验[ 第一节 ] – [ 第二节 ] + [ 第三节 ] - [ 第四节 ] +…的结果能否被7，11或13整除。

以上种种规律，究其本质都是与10进制有关，如果我们所使用的进制不同，那么“规律”也不相同。

例5、在8进制中找一找能被7整除的规律。类比十进制中被9整除的规律，知在8进制中各位数字的和如果能被7整除，那么这个数也能被7整除，如（65412721）₈各位数字的和为（34）₈，而（34）₈各位数字之和为（7）₈，所以（65412721）₈能被7整除。

再如，（31415271）₈的各位数字和为（30）₈，（30）₈的各位数字和为（3）₈，所以（31415271）₈被7除余3。

读者不仿将这些数据转化成十进制，检验结论是否正确。

 

参考文献：

[1]  李建超  11能否被整除的规律     《中学数学杂志初中》 2006.4

[2]  谈祥柏   江苏省教院报告                             2005.12